Procedia Ilmu Komputer
Volume 29, 2014, Pages
1014-1026
ICCS 2014. 14
Konferensi Internasional tentang Ilmu Komputasi
Implementasi Formula
Adaptive BDF2 dan Perbandingan dengan Ode15s MATLAB
E. Alberdi Celaya1, J.
J. Anza Aguirrezabala2, dan P. Chatzipantelidis3
1 Departemen Matematika
Terapan, University of the Basque Country UPV / EHU, Bilbao, Spanyol
elisabete.alberdi@ehu.es
2 Departemen Matematika
Terapan, University of the Basque Country UPV / EHU, Bilbao, Spanyol
juanjose.anza@ehu.es
3 Departemen
Matematika, Universitas Crete, Heraklion-Crete, Yunani
Abstrak
Setelah menerapkan
Metode Elemen Hingga (FEM) ke di ff usion-jenis dan gelombang-jenis Partial Di
ff Persamaan erential (PDE), urutan pertama fi dan urutan kedua Biasa Di ff
eren- esensial Persamaan (ODE) sistem diperoleh masing-masing. sistem ODE ini
biasanya hadir sti tinggi ff ness, metode sehingga numerik dengan sifat
stabilitas yang baik diperlukan dalam lution reso- mereka. MATLAB o ff ers satu
set open source fungsi langkah adaptif untuk memecahkan Odes. Salah satu fungsi
ini adalah ode15s direkomendasikan untuk memecahkan masalah sti ff dan yang
didasarkan pada Backward Di ff diferensiasi Formula (BDF). Kami menggambarkan
estimasi kesalahan dan kontrol ukuran langkah diimplementasikan dalam fungsi
ini. The ode15s adalah algoritma urutan variabel, dan meskipun memiliki
implementasi ukuran langkah adaptif, rumus maju dan estimasi kesalahan lokal
yang menggunakan sesuai dengan konstanta ukuran langkah rumus. Kami telah
difokuskan pada urutan kedua akurat dan tanpa syarat stabil BDF (BDF2) dan kami
telah menerapkan ukuran langkah algoritma BDF2 nyata adaptif menggunakan
strategi yang sama seperti yang BDF2 diterapkan di ode15s, dihasilkan algoritma
baru yang lebih e FFI efisien daripada yang dilaksanakan di MATLAB .
Kata kunci: PDE, Odes
ff sti, Backward Di ff diferensiasi Formula, BDF2 adaptif
1. Perkenalan
Banyak fenomena ilmu
pengetahuan dan teknik yang dimodelkan secara matematis menggunakan sistem
Partial Di ff Persamaan erential (PDE). Massa, momentum dan energi saldo,
dengan appropri- makan hukum konstitutif merupakan dasar dari kelas luas
Boundary Kondisi (BC) masalah dari mana gerakan makroskopik padatan, fluida dan
gas dengan kekuatan yang sesuai mereka dapat ditarik kesimpulan. Demikian pula,
solusi ow fl untuk masalah panas dan transportasi massal dapat diamati
terkandung, dan masalah interaksi antara media di ff erent (mekanik, termal,
kimia, atau elektromagnetik) dapat dipelajari.
1014 Seleksi dan
peer-review di bawah tanggung jawab fi Ilmiah c Komite Program ICCS 2014
doi: 10,1016 /
j.procs.2014.05.091
C The Penulis. Diterbitkan oleh Elsevier B.V.
Implementasi BDF2
rumus adaptif Alberdi, Anza dan Chatzipantelidis
Pemodelan matematika
dari media terus menerus dengan cara persamaan erential di ff menunjukkan
hubungan yang ada antara aplikasi erent di ff yang menyebabkan masalah yang
sama batas nilai. Sebagai contoh, Laplace umum PDE, yang mewakili perilaku
banyak masalah stasioner, diberikan oleh:
⎡
∇
· ⎣ -C∇u
Consduc¸t¸ivexf lux
+ Du
Convesc¸t¸ivxe fluks
⎤
⎦
+ Eu
Absso¸r¸txion= f
Sso¸u¸rxce(1)
di mana C dan E adalah
konstanta fisik dan D vektor yang tergantung pada masalah. Ini adalah kasus
dari masalah perpindahan panas di mana fungsi yang tidak diketahui u (x)
mewakili suhu. Jika persyaratan konvektif dan menyerap tidak dianggap,
Laplace-Poisson PDE diperoleh:
∇
· (-C∇u) = f (2)
Persamaan (2) mengatur
masalah potensial, yang memiliki banyak aplikasi seperti fluks dari cairan
mampat dan non-kental, torsi dari pro fi le dari setiap bagian, konduksi panas
sederhana atau massa di ff usion tanpa konveksi. Semua contoh ini stasioner
tapi itu sudah cukup untuk menambahkan istilah sumber tambahan yang terkait
dengan inersia untuk perubahan waktu untuk memperpanjang setiap model ini
dengan kasus transient umum, dengan Kondisi awal (IC) dan Ketentuan Batas (BC).
Kasus perwakilan sederhana adalah usion di ff dan persamaan gelombang. Yang
terakhir ini diperoleh dengan mengambil f = -G · UTT (x, t):
G
∇
· C∇u (x, t) = G · UTT (x,
t) → Δu = C UTT (3)
Jika fungsi tidak
diketahui u (x, t) mewakili perpindahan transversal string membentang dengan T
kekuatan (C = T) dan kepadatan ρ (G = ρ), PDE mengatur getaran melintang dari
string elastis.
Solusi analitis PDE
dalam domain umum tidak mungkin dan perlu penggunaan metode numerik, menjadi
Finite Element Method (FEM) yang paling mampu secara umum untuk menangani
setiap domain bentuk. Setelah menerapkan Finite Element Method untuk di ff
usion-jenis dan gelombang-jenis PDE dengan kondisi batas dan kondisi awal,
urutan pertama fi dan Biasa sistem urutan kedua Di ff erential Persamaan (ODE)
diperoleh masing-masing. proses untuk mendapatkan solusi perkiraan masalah ini
dengan menggunakan FEM yang, terdiri dari diskretisasi domain dalam elemen dan
node. Pendekatan solusi didasarkan pada penghapusan turunan spasial PDE dan ini
mengarah ke sistem Odes.
Sistem ODE yang
dihasilkan setelah diskritisasi FEM menyediakan sti tinggi ff ness, yang
berarti bahwa semakin besar rasio nilai eigen dari matriks Jacobian, semakin
sti ff sistem Odes [5, 7, 11]. Ini berarti bahwa non-signifikan bagian dari
solusi memerlukan ukuran langkah yang sangat kecil untuk menghindari
ketidakstabilan seluruh solusi. Ketika kita memecahkan sistem Odes ff sti oleh
integrasi numerik, penting untuk menggunakan algoritma yang akurat dengan sifat
stabilitas yang baik. Karena mereka diperkenalkan, Backward Di ff diferensiasi
Formula (BDF) [4] telah banyak digunakan karena sifat stabilitas yang baik
mereka.
Paket perangkat lunak
MATLAB o ff ers satu set kode untuk memecahkan masalah nilai awal [10, 12]:
yr (t) = f (t, y (t)),
y (t0) = y0 (4)
pada interval waktu
berhingga T = [t0, tn]. Beberapa pemecah ode ini direkomendasikan untuk
memecahkan masalah ff nonsti. Ini adalah kasus dua kode Runge-Kutta eksplisit
diimplementasikan dalam MATLAB: ode23 yang yang didasarkan pada
Bogacki-Shampine 3 (2) pasangan [1] dan ode45 yang didasarkan pada 1015
Tidak ada komentar:
Posting Komentar